[신호처리4] - Filters

LTI Systems

The output of a digital filter (LTI system) is related to the input by an N-th order difference equation.

 

 

http://www.ktword.co.kr/test/view/view.php?no=4982 

디지털 필터 구분

 

FIR Filters(non - recursive filter) -회귀성분을 갖지 않음 IIR 필터에 비해 구현비용이 많이 들지만 위상변이가 중요한 경우 사용	IIR Filter(recursive filter) -non linear phase	Linear Phase Filter
입력만 가지고 filter를 만듦 과거+미래 같이 봄 moving average filter 이동시키면서 average filter 를 구함	n 번째 출력을 위해서 n-1번째 출력을 사용 이전 출력이 지금 출력에 사용(recursive, 재귀적) 과거의 입력으로 사용	real, even h[n] 만들고 밀어!
유한 임펄스 응답(FIR) 필터는 유한한 길이를 가진 임펄스 응답을 가지며 전달 함수 H(z)에 분모가 없습니다. 이는 차분 방정식에서 피드백이 없음 임펄스 응답은 시스템이 임펄스 입력에 대해 출력하는 응답을 나타냅니다. FIR 필터의 임펄스 응답이 유한한 길이를 가진다는 것은, 시스템의 출력이 일정 시간 이후에는 0으로 수렴하여 시스템이 안정되어 있고, 장기간의 진동이나 발산 동작을 나타내지 않는다는 것을 의미합니다.	IIR(무한 임펄스 응답) 필터는 무한한 길이를 가진 임펄스 응답을 가지며, 전달 함수 H(z)에 분모가 있는 경우를 말합니다. 이는 차분 방정식에서 피드백이 존재하는 것을 의미합니다. 임펄스 응답은 시스템이 임펄스 입력에 대해 출력하는 응답을 나타냅니다. IIR 필터의 임펄스 응답이 무한한 길이를 가진다는 것은, 시스템의 출력이 무한한 시간 동안 지속적으로 존재하며, 시스템이 안정되어 있지 않을 수 있고, 장기간의 진동이나 발산 동작을 나타낼 수 있다는 것을 의미합니다.	디지털 신호 처리에서 시스템의 임펄스 응답이 대칭적이고, 입력 신호가 M/2만큼 균일하게 지연되어 시스템의 위상 왜곡이 발생하지 않는 경우를 가정

 

Ideal Filters (실존하지 않음)

lowpass(저주파)  / highpass(고주파)

이상적인 필터(ideal filter)는 디지털 신호 처리에서 사용되는 필터 중 하나로, 주파수 영역에서 원하는 특성을 가지는 이상적인 필터를 의미합니다. 이상적인 필터는 특정 주파수 대역의 신호를 통과시키고, 다른 주파수 대역의 신호를 완전히 차단하는 필터로 가정됩니다.

이상적인 필터는 주파수 영역에서 명확한 경계를 가지며, 원하는 주파수 대역에서는 통과(gain=1)하고, 원하지 않는 주파수 대역에서는 완전히 차단(gain=0)하는 특성을 가지는 것이 특징입니다. 이상적인 필터는 이론적으로 완벽한 필터로, 원하는 주파수 대역에서 완전히 투과하면서 원하지 않는 주파수 대역에서 완전히 차단되는 것으로 가정됩니다.

하지만 실제적으로는 이상적인 필터를 구현하는 것이 불가능하며, 이상적인 필터의 특성을 근사적으로 구현하는 다양한 실제 필터 설계 기법들이 사용됩니다. 예를 들면 FIR 필터, IIR(Infinite Impulse Response) 필터, 최소평균제곱(Minimum Mean Square) 필터, 파크-맥클레런(Park-McLellan) 알고리즘 등이 있습니다. 이상적인 필터는 디지털 신호 처리에서 필터의 기본 개념과 설계에 대한 이해를 위한 개념적인 모델로 사용되며, 실제적인 필터 설계에서는 이상적인 필터를 근사적으로 구현하는 필터 설계 기법들이 적용됩니다.

 

 

• Impulse response of the ideal lowpass filter

 

passband - stopband 간의 완전한 이분법적인 분리는 불가

transition band에서 누수가 발생함

이는 이상적인 필터가 무한한 길이의 임펄스 응답을 가지고 있어서 실제적인 구현이 불가능하며, 디지털 시스템에서는 유한한 길이의 임펄스 응답만을 사용할 수 있기 때문입니다.

이를 해결하기 위해 windowing이라는 기법이 사용됩니다. Windowing은 이상적인 필터의 주파수 응답에 윈도우 함수를 곱하여, 이상적인 필터의 무한한 길이의 임펄스 응답을 유한한 길이로 제한하는 방법입니다. 윈도우 함수는 임펄스 응답을 특정 길이로 자르고 부드럽게 감쌀 수 있도록 설계된 함수로, 이를 통해 이상적인 필터의 시간적인 특성을 근사적으로 제어할 수 있습니다.

윈도우 함수를 적용한 필터는 이상적인 필터와의 차이가 발생하게 되지만, 실제적인 구현이 가능하며, 주파수 응답과 시간 응답 사이의 트레이드오프를 조절할 수 있습니다. 다양한 윈도우 함수가 존재하며, 주어진 필터 설계의 목적과 요구사항에 따라 적절한 윈도우 함수를 선택하여 필터를 설계할 수 있습니다. 일반적으로 주로 사용되는 윈도우 함수에는 해밍(Hamming), 한달(Hann), 블랙먼(Blackman), 캐슬맨(Kaiser) 등이 있습니다. 이렇게 windowing 기법을 사용하여 이상적인 필터를 근사적으로 구현하는 것이 일반적인 필터 설계의 접근 방법 중 하나

 

Window

필터를 씌웠을 때, 원하는 것 -> 신호의 분절(신호가 들어오다 뚝 끊김)

 

윈도우 함수는 필터의 주파수 응답을 제어하기 위해 사용되는데, 다양한 윈도우 함수 중에는 Bartlett, Rectangular, Hamming 등이 있습니다. 각각의 윈도우 함수는 특정한 특성을 가지고 있어서 필터의 주파수 응답이나 시간 응답을 다양하게 조절할 수 있습니다.

Bartlett 윈도우 함수는 삼각형 모양의 함수로, 가운데에서부터 양쪽으로 갈수록 값이 감소합니다. 이로 인해 주파수 대역폭이 넓게 퍼지게 되어 주파수 응답이 폭이 넓어지는 단점이 있습니다.

Rectangular 윈도우 함수는 상수 값을 가지는 함수로, 주파수 응답이 갑작스럽게 끊기는 것이 아니라 급격한 변화 없이 끊어지게 됩니다. 이로 인해 주변 대역폭에서 높은 값이 유지되어 peak sidelobe가 높게 나타나는 단점이 있습니다.

Hamming 윈도우 함수는 Rectangular 윈도우 함수와 비슷한 형태를 가지지만, 끝 부분이 부드럽게 감쌀 수 있도록 설계된 함수입니다. 이로 인해 주파수 대역폭이 좁게 유지되면서 주변 대역폭에서의 peak sidelobe가 낮아지는 장점이 있습니다. 따라서, 주파수 응답의 폭이 좁고, peak sidelobe가 낮아야 하는 경우에는 Hamming 윈도우 함수가 가장 적합한 선택이 될 수 있습니다.

결론적으로, 필터 설계에서는 윈도우 함수를 적절하게 선택하여 주파수 응답을 원하는 대역폭과 peak sidelobe의 요구 사항에 맞게 제어하는 것이 중요합니다. Hamming 윈도우 함수는 주파수 대역폭이 좁고, peak sidelobe가 낮게 유지되는 특성으로 인해 많이 사용되며, Bartlett이나 Rectangular 윈도우 함수와 같은 다른 윈도우 함수보다 더 나은 성능을 보일 수 있습니다.

 

Design of Equiripple Linear-Phase FIR Filters (1)