[신호처리3] - Discrete-Time Fourier Transtrom(DTFT)

Properties of th DTFT

 

비주기 함수란 무엇인가?

늘릴수록 하나만 남는 거 처럼 보임 / 축은 Ω으로 바뀌므로 2ㅠ 주기를 가짐

1. 

a_kN = ΣX[n]e^(-jk*2ㅠ/N *n) 

 

N-> 무한대로 갈때,

Xn[n] -> X[n]

a_kN ≡ X(kΩ0)

K*2ㅠ/N -> 0~2ㅠ 사이실수 = Ω(라지 오메가로 치환)

(k:0~N-1(정수)), 

K=N-1 -> (N-1)2ㅠ/ N

N이 무한대로 가면 2ㅠ

 

2. 

lim a_kN = lim ΣX[n]e^(-jk*2ㅠ/N *n) 

Xn[n] -> X[n]

a_kN ≡ X(kΩ0) ≡ X(Ω)

K*2ㅠ/N -> 0~2ㅠ 사이실수 = Ω(라지 오메가로 치환)

(k:0~N-1(정수)), 

K=N-1 -> (N-1)2ㅠ/ N

N이 무한대로 가면 2ㅠ

 

[DTFT결과] w = k*2ㅠ/N   (2ㅠ 주기)

IDTFT

2. 양번에 N , (1/2ㅠ) 각각 곱해주기

 

lim 취하고 앞에 정의된 notation 들로 치환하기

 

적분 도메인 살펴보기

 

IDFT

 

 

https://angeloyeo.github.io/2019/07/09/DTFT.html

이산시간 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform) - 공돌이의 수학정리노트

https://angeloyeo.github.io/2019/07/09/DTFT.html

이산시간 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform) - 공돌이의 수학정리노트

1. 복소수 표현 :  X(ω)는 복소수로 표현됨 

실수부 + 허수부

2. 주기성 : 주기는 2ㅠ X(ω + 2π) = X(ω)

3. 공액대칭 : 실수 값으로 이루어진 입력 신호 x[n]의 DTFT인 X(ω)는 공액 대칭(conjugate symmetric)입니다. 이는 X(ω)의 크기와 실수 부분이 짝수(symmetric)이고, 위상과 허수 부분이 홀수(odd)임을 의미

4. y 축 대칭 X(ω) = X(-ω)

 

*sink -> sinc

 

DFT : Discret Fourier Transform

1: 1 대응

*비교 (C:continuous, D : discrete)

CTFT : C⇔ C (X(w))

DTFT : D ⇔ C (X(Ω))

DFT : D ⇔ D

(n개) -> (DFT)-> (n개)

Def. 0~ N-1까지 값을 가지는 X[n]을 DTFT한 다음 2ㅠ/N 간격으로 ((K2ㅠ/ N, K=0,1, ...N-1)

Sampling 과는 다름

sampling(delta train 곱합(무한대를 곱함), 발산 값들)

 

푸리에 시리즈와 값이 같음

 

Uncertainty Principle(trade-off)

A signal cannot be arbitrarily narrow in both time and frequency simultaneously.

• Narrow in time <-> wide in frequency

• Wide in time <-> narrow in frequency

시간 영역에서 매우 짧은 신호는 높은 주파수 성분을 가집니다. 그러나 이러한 신호는 주파수 영역에서는 넓은 대역폭을 가지게 됩니다. 반대로, 시간 영역에서 긴 신호는 낮은 주파수 성분을 가집니다. 그러나 이러한 신호는 주파수 영역에서는 좁은 대역폭을 가지게 됩니다.

Frequency Response

https://scribblinganything.tistory.com/150

FRF (Frequency Response Function, 주파수 응답)이란?

 

 

Frequency Response of Discrete-Time Systems

 

LTI system

1. 선형성

sccaling 만족 ( 천원을 넣으면 생수가 나오는 시스템)

a+b  = ㄱ + ㄴ (입력이 합형태로 들어가면 출력도 그대로 합 형태로 나옴)

3. 입력 delay -> 출력 delay(마우스 입력-> 마우스 출력 / 1시간 뒤 마우스 입력 - > 1시간 뒤 마우스 출력)

h[n]은 LTI 를 만족하는 system

x[n]이라는 discrete domain을 h[n]과 convolution 해서 y[n]이라는 결과가 나옴

 

Frequency resoponse

 

Convolution Theorem

y[n] = x[n](scaling)*h[n]

 

Windowing (Modulation) Theorem

(이후 내용 정리 필요)

 

Example: Impulse Train with Period P (1)

impurse function &delta;[n]

convolution 하여서 곱했을 때, f(0)이 나오는 function 을 impurse funciton 이라고 함

 

예시) g(t)의 conv 값이 f(0)이기때문에 g(t)는 &delta;(t)

 

Impurse response?

impurse response 로 임의의 입력(피아노 건반)에 대하여 X(t)(오케스트라)의 출력을 알 수 있음

=> 출력을 가늠하고 계산할 수 있게 도와줌

 

Convoution 개념

 

convolution = calculation of accumulated reaction(누적된 반응을 계산)

예시) LTI를 만족하는 라텍스 배게는 scaling, add 이라는 두 가지 속성을 만족함

 

signal can be expressed by sum of impurse

=> impurse의 합으로 signal 출력을 나타낼 수 있음

 

convolution 예시

함수를 함수의 합으로 나타낼 수 있음

X[n] = 3δ[n] + 2δ[n-1] + δ[n-2]

X[n]의 disceret fun합을 δ[n]을 이용하여 표현할 수 있음

 

3&delta;[n]을 LTI가 만족하는 system에 넣으면 출력을 h[n]으로 표현할 수 있음

따라서, δ[n]에 대한 h[n]의 출력을 알 때, 그 결과를 y[n]으로 나타낼 수 있음

 

좀 더 일반화 시켜서,

 

예시

해당 signal을 y[n]으로 나타내보면,

X[n] = ... + X[-2]δ[n+2] + X[-1]δ[n+1]

                + X[0]δ[n] +  X[1]δ[n-1] + ...

이므로 아래와 같이 나타낼 수 있음

즉, convolution은 

LTI system을 만족하는 그 자체로 볼 수 있음